Fuite et plombier imposé ! Que faire ?

Bonjour. Je suis locataire d'une maison individuelle. Les propriétaires étant en indivision, la gestion est confiée à l'agence immobilière qui m'a loué le logement, en décembre 2015.

1 semaine après mon installation, suite à ma demande, les propriétaires avaient accepté de changer le robinet de la cuisine, à leur frais. Le plombier (qui est un copain des propriétaires) était venu m'installer un modèle de "son choix" et a conservé l'emballage et la facture.

Tout va bien jusqu'à il y a 3 jours, quand le robinet se met à fuir (un filet d'eau qui s'écoule en permanence, non pas depuis l'aérateur, mais depuis l'intérieur même du robinet).
Il est donc nécessaire de changer les joins toriques, voire la cartouche entière.

1er problème : Aucun commerçant spécialisé, près de chez moi, ne vend de cartouche de la marque de mon robinet. Et chaque cartouche a un modèle spécifique de joint torique. Donc impossible de faire moi-même la réparation. Je laisse le robinet en l'état, qui fuit.

2ème problème : la fuite s'est déclarée moins d'1 an depuis son installation. Il doit donc y avoir une garantie. Mais c'est le plombier qui a la facture et il ne répond pas à mes appels depuis 2 jours, alors qu'on pourrait estimer qu'il y a dépannage d'urgence, même un samedi.

3ème problème : Selon les dires de l'agence immobilière qui a la gestion de la maison, une clause sur le contrat établie entre l'agence et les propriétaires stipule que le plombier en question a "l'exclusivité de l'intégralité des interventions". Donc, si je fais appel à un autre prestataire, c'est moi qui paierai le facture. Je précise que rien, concernant les prestataires, ne figure sur mon bail.
Ce à quoi l'agence n'a rien trouvé de mieux que de me dire d'attendre lundi pour rappeler le plombier, car monsieur tient à son weekend de 3 jours (vendredi était férié).

4ème problème : Pour couper l'eau du robinet de la cuisine, je suis obligé de couper l'arrivée d'eau générale. Donc, plus d'eau chaude et plus de chauffage (j'ai une chaudière à fioul). Il m'est donc impossible de stopper temporairement la fuite.

Me voilà avec un robinet qui fuit depuis 3 jours, à raison, je pense d'une perte d'environ 1.5 litre d'eau par jour, soit 4.5 litres perdues à payer de ma poche, voir plus.

Mes questions sont donc :
1) Quand le plombier va réparer le robinet, qui paiera la facture ?
2) Ai-je droit à un quelconque recours pour ne pas systématiquement dépendre de CE plombier ?
3) Si le plombier attitré tarde à intervenir, ai-je le droit de mandater un autre prestataire et envoyer la facture au propriétaire, avec la justification de l’absence de réponse du "copain plombier"? (dans le cadre, je précise, d'une réparation coûteuse et due à l'usure normale ou dans le cas d'un dépannage d'urgence)
4) L'agence immobilière me dit qu'elle n'a aucun pouvoir concernant les artisans prestataires.
Est-ce vrai ?

Désolé, c'était un peu long. J'espère été assez précis. Merci d'avance pour vos réponses.

Flagadalex