Charges de copropriété

Bonjour,
En mai 2014, suite à la non réception du signal TV dans mon appartement j'ai fait intervenir un antenniste qui a constaté que la prise était en parfait état mais que le signal n'arrivait pas. J'ai réglé sa facture, son intervention étant de mon fait et sur ma partie privée
J'ai alors contacté le syndic qui, après 2 mois de tergiversations, a mandaté l'entreprise qui assure les travaux d'électricité dans l'immeuble.
Cet électricien a constaté que le câble coaxial était HS et, de plus, coincé dans sa gaine. Il a donc installé un câble en aérien de l'armoire technique du palier jusqu'à l'intérieur de mon appartement et posé une prise en aérien elle aussi, puisque la prise TV d'origine, était toujours reliée à l'ancien câble, pris dans sa gaine. Les travaux ont été réalisés en juin 2014. S'agissant d'intervention sur un élément des parties communes aucune facture ne m'a été réclamée à ce moment.

Le syndic vient de me faire parvenir la facture de cette intervention, plus d'un an après, établie au nom du syndic et précisant que la réparation concerne le câble coaxial.
Pensant à une erreur je viens de contacter le syndic qui me confirme que cette réparation est à ma charge.

Quelqu'un pourrait il me dire s'il existe un texte qui autorise un Syndic a se faire rembourser une dépense de réparation du câblage TV de l'immeuble ou est ce que chaque câble qui dessert chaque appartement est aussi une propriété privée, incluant sa gaine ?
Merci d'avance de la réponse
Bien cordialement