Contravention injustifiée et refus de matricule

Bonjour,

Je vous expose les faits, et j'aimerais que vous me disiez ce que vous en pensez et quels sont les recours possibles.

Cet apres midi, je roulais sur le périph parisien et un fourgon de police se met à mon niveau en me demandant de sortir à la prochaine porte, ce que je fais.
Je coupe le contact de mon véhicule, obtempère lorsque le policier me demande les papiers. Elle me demande si je sais pourquoi je suis arrêtée, je lui dit que non, elle me répond parce que vous étiez en train de téléphoner, ce a quoi je réponds par la négative. Elle me dit avoir vu le téléphone dans ma main, je lui dis non il n'était pas dans la main mais posé sur le vide poche au dessus du levier de vitesse (ecran allumé depuis 30 min car avant de partir j'avais consulté mes mails et le tel ne se met pas en veille tout seul) elle aoute m'avoir vu parler, je lui dis oui je parlais à ma fille (7 mois) dans le maxi cosy à l'avant côté passager, elle me dit que c'est étrange de parler à un bébé et ne me crois pas...
Voyant que je nie l'infraction, elle dit à sa collègue "c'est pas grave on va verbaliser pour le contrôle technique qui n'est pas bon" je lui dis que le CT a un mois, sa collègue regarde et confirme, elle me dit bon on va rester sur le téléphone.

Elle établit visiblement une contravention sur un appareil électronique, je dis visiblement car je n'ai pas vu ce qui était inscrit, et me demande de signer, je refuse, elle me dit que je suis obligée, je lui dis que non, que je ne suis pas d'accord et exerce mon droit de refus à signer une contravention. Je lui demande son matricule et elle me dit non je ne vous le donnerai pas, ou alors seulement si vous signez la contravention. Je réponds que si je signe plus de recours possible car je reconnaitrai l'infraction. Elle s'en va en me disant tant pis vous ne l'aurez pas alors.
Je lui précise que je le retrouverai d'une manière ou d'une autre car j'ai la plaque de leur voiture de police elle le dit que c'est interdit de noter ça, je lui qu'elle dit n'importe quoi et que fort heureusement je ne compte pas sur la police pour connaître mes droits (bon ça c'était gratuit mais on est restées 20 min et ma fille avait faim alors j'étais énervée)...

Qu'est ce que je peux faire ?

Je souhaite contester car oui j'ai déjà utilisé mon téléphone au volant (pas bien je sais) mais pas cette fois. Que puis-je fais pour agir au mieux ?
Je comptais faire un courrier demain mais du coup je l'envoie à qui ?
Et adresser un recours une fois la contravention reçue (j'ai déménagé et ai peur qu'avec le suivi courrier ça mette longtemps à arriver).

Pour info j ai 12 ans de permis et jamais eu un point en moins donc ça m'embeterait que ce soit le cas sans parler de l'amende...