Qui paye quoi ?

Bonjour,
Je suis en garde alternée depuis 4 ans.
Mon enfant rentre au collège cette année.
Mon ex à décidé, de lui même et sans mon accord, de faire appel à une société connue dans le soutien scolaire dès la rentrée scolaire.
Mise sur le fait accompli, monsieur me réclame la moitié de la facture signé sur l'année ( facture assez conséquente d'ailleurs)
Ai-je le droit de refuser de payer ??