Vols clés de voiture lors de cambriolage

Bonjour,
Il y a 15 jours, ma maison a été cambriolée. Dès que nous l'avons constaté, nous avons déclaré ce sinistre à notre assurance habitation qui a pris les choses en main pour contacter les professionnels ( experts, serrurier...).
N'ayant pas de nouvelle pour la clé volée de ma voiture, j'ai rappelé en début de semaine ( 1 semaine après le cambriolage) l'assurance habitation qui m'a alors indiqué qu'elle ne prenait pas en charge et que cela relevait de mon assurance auto.
Le jour même j'ai appelé mon assurance auto qui me dit ne pas prendre en charge non plus, que cela relève de mon assurance habitation. L'opératrice m'a cependant indiqué faire un mail à un de ses services pour savoir si ça peut être pris en charge. Depuis pas de nouvelles. Je suis pourtant assurée contre le vol et le vol isolé des éléments composant le véhicule.
L'expert est passé aujourd'hui (10 jours après le cambriolage) et nous a confirmé que l'assurance habitation ne prenait pas en charge les frais liés au double de la clé volée de la voiture, que cela relevait de l'assurance voiture.
J'ai 2 questions :
- une clé de voitures est-elle considérée comme un élément composant le véhicule?
- à partir de quand coule le délai pour déclarer auprès de la bonne assurance, s'il y en a une?
Je vous remercie par avance.