Assignation copropriétaire, fuite d'eau

Bonjour,

Depuis six ans, l'un des copropriétaires, a réalisé des travaux dans sa salle de bain sans étanchéité.
Le plafond des parties communes est totalement imbibée d'eau ainsi que le mur de l'entrée avec une Taux d'humidité de 100%.
Le syndic a effectué des multiples relances, sans succès, des visites non honorées par le copropriétaire.
Le Syndic nous a proposé lors de notre dernière AG de voter une assignation, hélas, elle a été rejetée par les copros du 2e escalier qui ne se sentent pas concernés et ne souhaitent pas payer les frais d'avocats. Il faut savoir que les escaliers sont indépendants au niveau des travaux, donc ils ne seront pas concernés quelque soit le montant final à débourser.
Qu'en pensez vous ?
Quelle est la procédure approprié pour assigner ce copropriétaire sans passer par le vote des copropriétaires ?
Le syndic peut -il assigner directement et ainsi nommer un expert qui pourra confirmer la provenance des dégâts et établir les responsabilités.