Main levée d'hypothéque judiciaire

Bonjour,
Mon adversaire d'une procédure judiciaire avait fait une exécution provisoire en effectuant une hypothèque sur un bien immobilier m'appartenant.
En appel, il a perdu et le Tribunal a ordonné la main levée de l'hypothèque partielle.

Comment faire une main levée d'hypothèque qui a été ordonnée par un jugement ?
Le site Service Public indique :
Les jugements accordant mainlevée, une fois passés en force de chose jugée, doivent être publiés au bureau des hypothèques en marge de l'inscription existante.

Je pense que c'est à mon avocat de faire la démarche.
Mais il y a un coût d'acte et ni lui ni moi (en aide juridictionnelle) ne veulent avancer les frais, car la difficulté est de leur remboursement ensuite.
Comment les mettre à la charge de la partie adverse ?
Celui-ci étant condamné aux dépens, ces frais n'en sont-ils pas et donc à récupérer, avec les autres éléments de la condamnation, par l'exécution du jugement par l'huissier ?

Merci de votre avis sur le sujet.