Préavis d'un mois et départ en cours de mois

Bonjour,

Mon conjoint et moi-même ne pouvant plus payer notre loyer suite à une hausse très importante du loyer et des charges depuis juillet 2009, nous avons trouvé un nouveau logement correspondant à notre budget. Nous aurons les clés le 20 novembre prochain. Nous souhaitons donc laisser un préavis d'un mois et pour en justifier, voici quelques explications :

Mon conjoint est inscrit depuis décembre 2008 à l'ANPE, bénéficiant du chômage. Pendant cette première année de chômage, il a effectué 6 mois en CDD, de manière éparpillée sur l'année (donc pas 6 mois d'affilée). En ce moment, il est en poste en CDD jusqu'à fin du mois d'octobre, voire fin novembre selon les besoins (c'est dans le public, ils renouvellent les CDD comme ils veulent, mais je n'entrerai pas dans le débat ici, je souhaiterais rester dans le vif du sujet).

Mon conjoint a des attestations de l'Assedic prouvant ce qu'il a perçu en allocations chomage depuis décembre 2008, mais aucune autre attestation prouvant qu'il est toujours inscrit sur la liste des demandeurs d'emploi.
Est-ce que cela peut tout de même nous aider pour obtenir un prévis d'un mois ?

De mon côté, j'étais inscrite à l'ANPE, mais depuis mars 2009 j'ai créé une petite entreprise. Je bénéficie de l'aide des Assedic (le fameux versement du capital) et le prochain paiement aura lieu début novembre.
Cette situation peut-elle aussi aider pour un préavis d'un mois ? (la loi à ce sujet ne dit absolument rien).

Deuxième question : nous souhaitons quitter notre appartement le 20 novembre pour entrer dans le nouveau le même jour. Comment se passe, selon la loi, le paiement du loyer ? Nous le payons, comme tout le monde, d'avance en début de mois, mais existe-t-il un moyen pour ne payer que ce qu'il reste en jours habités dans le logement, sachant que le préavis aura déjà été donné ?

Si je ne suis pas claire, n'hésitez pas à demander.
Merci d'avance de vos réponses et à bientôt !