Allocation chômage (ARE) et promesse d’embauche que faire ?

Bonjour, 

Je viens de l’île de la Réunion, j’ai trouvé un emploi en France métropolitaine et j’ai signé une promesse d’embauche le 17 mai 2023. Cependant je suis indemnisé par pôle emploi (allocations chômage) et je commence le travail que le 1er juin 2023. 

Mes questions : 

Est-ce que je pourrai m’actualiser en tant que demandeur d’emploi le 28 mai ? (Et si je signe le vrai contrat de travail avant la fin du mois est-ce pareil ? (en rappelant que je ne commence que le 1er juin)

Est-ce que je pourrai toujours recevoir une indemnisation chômage (ARE) à la fin du mois de mai par pôle emploi ? 

Faut-il envoyer ma promesse d’embauche à pôle emploi ? Quelles sont les démarches à suivre ? 

Merci d’avance pour vos réponses.