Démission sans contrat de travail

Bonjour,
Je travaille dans une mairie ( agent contractuel non titulaire ) et je suis actuellement sans contrat ( fin de mon cdd il y a quelques jours) . J'ai eu une proposition de renouvellement par oral mais aucune nouvelle depuis , j'ai actuellement une autre proposition autre part qui me convient beaucoup plus . Etant toujours en poste est ce que je dois faire une lettre de démission avec huit jours de préavis ou j'ai le droit de partir en informant mon employeur ? Merci