Comment partir sans préavis

Bonjour,

Je suis actuellement en CDD en mairie jusqu'au 31 mars. On m'a annoncé le non renouvellement de mon contrat le 10 février. J'ai trouvé un CDD d'un an, je commence le 1er mars. Donc impossible de respecter le préavis d'un mois.
Dois-je faire un abandon de poste sachant que je n'aurai pas le droit au chômage par la suite? Et que je ne peux rien négocier avec mon employeur...

Merci de votre aide, je ne sais pas comment partir!