Facture recherche de fuite d'eau - copropriété

Bonjour,
Voici le contexte :
- En septembre 2019, je constate un écoulement d'eau au-dessus de ma cuisine, dans un espace privé (sorte de coffrage en bois) où passe des tuyaux d'évacuation d'eau (commun).
Impossible de savoir si la fuite d'eau provient des tuyaux de la copropriété ou bien du voisin du dessus (une partie des tuyaux sont encastrés dans le plafond, sans visibilité nette).
Mon voisin étant injoignable, je téléphone à mon assurance pour les prévenir d'un dégât des eaux. Étant dans l'impossibilité de connaitre la source, elle me conseille, dans un premier temps, de voir avec le syndic pour définir la source (copro / privée).
Ce même syndic fait intervenir un plombier pour effectuer une recherche de fuite, défonce littéralement le plafond (ouverture dans du béton de 30 par 20cm) pour atteindre les tuyaux pour découvrir visuellement que la fuite provient non pas de tuyaux de la copro mais bien ceux du voisin de dessus (juste recherche visuelle, pas de technique spécifique - non réparation des dégâts causés).

Les réparations sont effectuées par le voisin (+ de 7500€ - obligation de refaire une partie en apparent chez eux). Constat de dégât des eaux, prise en charge par les assurances. Fin de l'histoire autour d'un verre pour oublier l'histoire.

- En février 2020, le syndic nous demande de payer une facture de 440 € pour recherche de fuite.
Je contacte mon assurance qui m'explique que la fuite ne provenant pas de chez moi mais bien du voisin, elle incombe à celui-ci (c'est spécifiquement expliqué sur le rapport de recherche de fuite d'eau envoyé par le syndic). Fin de l'histoire, la facture disparait des décomptes de charges.

- Le confinement passe et nous voici en aout 2020, avec une demande express + menace de saisie d'un huissier de la part du syndic nous demandant de régler la facture de 440€. Le plombier de la copro étant intervenu chez nous, pour eux c'est bien à nous de payer. Mon assurance nous réexplique que non, nous n'avons rien à faire, convention IRSI allant dans notre sens.
Pour information, nos charges sont à jour - aucun retard de paiement - juste cette recherche de fuite qui traine.
Le voisin du dessus n'a jamais vu apparaitre de facture sur son décompte.

Qui doit payer cette facture ? Copro ? Nous ? Voisin du dessus ? Chacun renvoyant la balle vers l'autre.
Quels sont nos recours concernant ce litige ? Lettre de mise en demeure ? Saisine d'un conciliateur de justice ?

Merci d'avance de votre aide,