Locataire qui ne veut pas partir de l'appartement à l'issue du bail

En effet inutile de paniquer pour le moment.
Appeler l'employeur, était un peu excessif, et limite atteinte à la vie privée, si vous révélez des informations qui ne concernent pas l'employeur.

Inutile d'envenimer les choses.
Il reste encore environ 2 mois, rien n'indique qu'il ne sera pas parti dans ce que vous indiquez.
Si il a annoncé clairement qu'il ne partirai pas, vous lui rappelez simplement ses obligations, comme indiqué par Valenchantée, en plus des indemnités d'occupation, il devra également payer les frais d'une éventuelle procédure...

Si c'est une personne qui a des revenus, je doute qu'il prenne le risque d'alourdir sa dette.

Quelques semaines avant la fin, vous l'invitez à convenir avec vous d'une date pour effectuer un état des lieux et la remise des clés.

La procédure d'expulsion est assez longue, si c'est nécessaire, il faut engager la procédure via l'huissier quelques jours après la fin du bail.
Par ailleurs, même si il ne compte pas partir tout de suite, il n'attendra pas forcément l'expulsion, une majorité des procédures engagés, aboutisse à un départ du locataire sans qu'il y ai besoin d'expulser effectivement.
Déjà quand vous recevez une convocation au tribunal, ça fait réagir dans de nombreux cas.

Si cela doit aller malheureusement au bout, il y a moins de délai à respecter dans le cadre d'une procédure de ce type (contrairement à l'impayé de loyer) ce qui peut vous conduire à environ un an d'attente. Ce qui n’empêche pas pendant ce temps, qu'il doive payer, et peut très bien être saisi par l'huissier, sur son salaire par exemple, puisque vous connaissez l'employeur.