Indemnisation suite à un dégât des eaux

00xxxxxxxx5D

heuuu ça c'est le numéro du contrat...
alors, dit autrement, c'est un contrat MRH de quelle compagnie commercialisé sous quel nom (si autre que "contrat multirisques habitation")?

Oups... Désolée.
Il s'agit d'un contrat d'habitation Gmf dont l'une des garanties s'intitule "dégât des eaux/gel avec extension". Donc garantie étendue à l 'indemnisation des dommages occasionnés par les infiltrations au travers des murs extérieurs et des façades, le ruissellement des eaux de pluie, l'engorgement et le refoulement des égouts et canalisations.

OK. le contrat est donc dispo ici
https://www.gmf.fr/files/live/sites/gmf-fr/files/Images-PDF-Jahia/fiche-produit/Details-produit/Habitation-pret_immo/assurance-habitation/cg-habitation.pdf
puisque vous avez souscrit l'extension, la garantie DDE porte donc bien aussi sur l'évènement infiltration au travers des murs extérieurs.
si vous lisez le paragraphe concerné jusqu'au bout, vous verrez par contre que la garantie est suspendue jusqu'à la réalisation des travaux visant à supprimer les infiltrations.
et cela me semble applicable à partir du sinistre précédent, puisque vous dites en avoir subi un identique.
dans ce cas, au sens strict contractuel, ce dernier évènement ne devrait donc pas être garanti si vous n'avez effectué aucuns travaux sur vos murs.
par ailleurs, au paragraphe intitulé "ce que nous ne garantissons pas", figure dans la liste "les débordements// d'étendues d'eau//naturelles". Ce qui à mon avis s'applique aux nappes phréatiques.
une garantie ne vous serait donc dans ce cas acquise que si votre contrat comprend la garantie "inondation". cf ma réponse du 24 à 23h58).
la suite suppose que cette garantie est souscrite.

pour ce qui est de votre première question, du moins son libellé, parce qu'il est ambigu;
quand vous faites état de "entièrement à sa charge", vous faisiez référence à l'assurance ou à votre voisine?
techniquement, suivant vos explications sur la cause, (remontée de nappe phréatique) ne peut impliquer la responsabilité de votre voisine; elle n'est pas plus responsable de la nappe que vous ne l'êtes; le constat amiable n'a donc en ce sens pas lieu d'être.
et aucuns travaux ne sont donc susceptibles d'être financés par elle au titre de sa responsabilité.
techniquement, d'ailleurs, hormis un cuvelage (à mon sens irréaliste) ou un regard de pompage (plus réaliste...) personne ne peut abaisser le niveau d'une nappe (ça se fait, mais avec d'autres moyens que ceux d'un simple particulier; ce n'est pas du tout le même genre de pompe qui est mis en service).
la réponse à la première question est, dès lors, non; vous ne pouvez obliger , même via votre assureur, votre voisine à effectuer ce genre de travaux et votre assureur ne prendra pas en charge non plus ceux qui seraient envisagés chez vous pour supprimer la cause (ou du moins en atténuer les effets).

pour les questions suivantes et sous réserve que la garantie est bien acquise:

- Puis-je être exonérée de la franchise puisque je ne suis pas responsable ?

non, puisqu'il n'y a pas de tiers responsable; le contrat s'applique en assurance de chose et la franchise prévue est applicable.
ce sous la réserve de garantie précédemment mentionnée.

- L'assurance me demande d'établir une liste de perte de mobiliers, en précisant "avec facture et montant supérieur à 500€..." Je n'ai que peu de factures, ces mobiliers étant anciens et pour des montants bien inférieurs à 500€, surtout avec les décotes de vétusté. Puis-je malgré tout en demander le remboursement ?

rien ne l'interdit à priori, si vous êtes en mesure de justifier de l'existence des biens endommagés. leur valeur peut être déterminée par celle d'un mobilier d'occasion vendu sur les sites dédiés.

- Il y a 4 ans, ma cave a déjà été inondée mais je n'ai pas pensé à ma voisine à cette époque. J 'ai été indemnisée pour du mobilier endommagé. Ce mobilier appartenait en partie à mon compagnon et je lui ai remboursé le dommage subi par avec cette indemnité. Mon compagnon est décédé depuis 2 ans d' un cancer et j 'avoue que ma cave n'était pas la priorité durant ces dernières années... Aujourd'hui, ce mobilier m 'appartient (nous vivions en union libre et ses enfants sont donc les seuls héritiers) et vient de subir une seconde inondation. Puis-je solliciter à nouveau une indemnisation en le déclarant comme perte ?

cf réponse précédente pour ce qui est de l'application de la garantie.
pour la propriété des biens, en fait de meubles, possession vaut titre...

- Pour assécher la cave et atténuer les odeurs d' humidité dans la maison, j'ai maintenu le chauffage ce qui me vaut une facture supplémentaire de fioul de 425 €. Puis je en demander le remboursement ?

un assècheur urait sans doute été plus efficace, mais l'intervention d'une entreprise spécialisée mandatée par l'assureur n'aurait pas coûté moins cher... ils sont à mon avis susceptibles d'être pris en charge au titre des frais et pertes assurés (cf paragraphe suivant en haut de page); "frais de secours et de sauvetage".

- Enfin et concernant le puits, mentionné comme mitoyen dans l'acte de vente de la maison, et après que cette affaire soit réglée, j 'aimerais en obtenir la jouissance. Cela fait maintenant 9 ans que je paye l' eau pour arroser mon jardin alors que je suis théoriquement propriétaire d'un puits... Comment faire valoir mes droits ?

en prouvant votre propriété par le titre dont vous disposez, puisqu'il est clairement mentionné; quitte à en réclamer l'application auprès du tribunal.