Problème avec Expert

Bonjour

Je résume un peu l'histoire avec le garagiste car le vrai problème vient de l'expert que j'ai mandaté .

Mon véhicule est tombé en panne l'été dernier lors de mes vacances. L' alternateur en est la cause . Je fais réparer ma voiture chez un garagiste sans passer par mon assurance .
Je récupère mon véhicule 2 jours plus tard avec l'alternateur changé , mais les voyants de batterie toujours allumé . Le garagiste m'explique qu'il n'avait pas le temps de regarder plus en détail quel en était la cause .Je roule donc avec une voiture qui ne charge plus et cale dès que je consomme trop de courant.

Donc suite à ça et conseiller par un ami garagiste , je fais appel à un expert auto . Je lui explique mon problème en lui précisant que je n'ai aucun doute sur mon nouvel alternateur , ni sur la facture. Mais que d'après moi il n'a pas pris le temps de tout vérifier et qu'il ne m'a pas vraiment laissé le choix de reprendre ma voiture car je rendait la location le lendemain . Celui-ci s'occupe de la réunion d'expertise avec le parties adverses.

Je demande à mon expert de regarder pour la prise en charge des frais de réparation supplémentaires (changements de faisceaux , batterie si besoin ...)

C'est là que commence le vrai problème .

Pendant la réunion d'expertise mon expert me demande si il peut mettre un alternateur neuf ,pour être sûr que celui mis par le garage n'a pas de défaut de fabrication . Après ce nouveau changement d'alternateur nous constatons que les défauts évoqué plus haut sont toujours présent.
Suite à cela les 2 experts sont formels et remettent en cause l'obligation de résultats du garage .
Mais ce qu'a oublié de me préciser mon expert ces que la pose de ce 3eme alternateur est entièrement à mes frais .

Je me retrouve donc avec une facture de 380€ pour le première alternateur que je ne conteste pas .
Un expert que j'ai payé 300€ .
Et une facture pour les réparations final + l'alternateur posé pendant la réunion contradictoires de 780€ .
J'aimerais savoir qui doit payer cette dernière facture . Surtout que si l'expert m'avais préciser que "le test " d'un 3eme alternateur serait à ma charge , j'aurais refusé de le faire .

Désolé pour ce pavé . Merci pour vos réponses