Démission sans avoir signé de contrat de travail

Bonjour,

Voici ma situation :
J'ai commencé un nouveau travail en CDI début septembre. je n'ai toujours pas signé de contrat de travail. Mon employeur me présente le contrat la semaine dernière et il y a une clause de mobilité qui m'oblige a déménager si l'entreprise en a le besoin. Seulement ce point n'a jamais été évoqué auparavant donc je me retrouve un peu au pied du mur. Puis par là suite, je découvre que les tâches de mon poste ne correspondent pas à ce qui m'a été présenté en entretien. Je décide donc de quitter l'entreprise (au bout d'un mois).
Mes questions sont :
- Ma période d'essai de 3 mois est-elle toujours instaurée malgré le fait qu'il y ai pas de contrat?
- Y a t il un un temps de prévenance quand j'annoncerais ma démission? Car j'ai peut être une piste pour un autre emploi et je commencerais rapidement.
- S'il y a un temps de prévenance et que je ne la fasse pas car je commence mon nouveau travail, qu'est ce que je risque? (abandon de poste?)

Merci de vos réponses