Contrat de travail non signé

Bonjour,

Je me permets de vous exposer ma situation pour une aide si possible.
Ma situation:
j'ai été embauché par un par un patron pour un CDI le 3 octobre, je n'avais jamais signé ni vu mon contrat sous prétexte qu'il était en cours d’élaboration et que ça prenait du temps. J'ai fait confiance au patron car je me disais que de toute façon un contrat non signé = CDI automatique et qu'il le savais.
J'ai eu une entretien le 25 novembre donc prés de 2 mois après mon embauche pour réclamer mon contrat. le patron me dit qu'il a finalement réfléchit et qu'il souhaite me proposer un CDD a la place pour une durée qu'il ne connait pas encore.

ma question : est ce que j'ai bien le droit au CDI automatique et surtout est ce que je suis dispensé de période d'essai car l'employeur ne m'a jamais parlé de période d'essai ni fait signer ou voir un document stipulant son existence ni sa durée.
pour info c'est une entreprise de nettoyage.

Merci d'avance pour votre aide.