Refus de préavis réduit

Bonjour,

Le 23 mai j'ai envoyé une lettre recommandée à mon agence immobilière pour les informer que je souhaitais quitter mon appartement (à Lyon donc en zone tendue selon la loi Alur) ce 1er juillet et donc bénéficier d'un préavis réduit à un mois au lieu de trois.

Néanmoins, dans ma lettre j'ai cité le code de la construction et de l'habitation au lieu de cité la loi Alur. De fait mon agence m'a refusé mon préavis sous prétexte que : "Vous avez obligation de motiver et justifier le préavis réduit lors de l’envoi de votre congé faute de quoi le préavis de 3 mois est applicable".

Je cesse de percevoir ma bourse ce mois ci et je ne peut pas me permettre de louer un appartement à 419€ de loyer jusqu'en mai.

Sont ils en droit de faire ça ? Et ci non, que suis-je censé faire ?