La CAF refuse d'enregistrer la naissance de mon fils

Bonjour,
Je souhaiterais avoir des informations par rapport à ma situation et j'espère que vous pourriez m'aider?
En effet, je suis maman d'un bébé de 3 mois, la CAF a interrompu mes aides aux logements et refuse d'enregistrer la naissance de mon fils. Les raisons avancés c'est que son père la reconnu et à indiquer la même adresse que moi sur l'acte de naissance alors j'ai déclaré que je suis mère célibataire.

Je vis seule avec mon fils et son père vit à Bruxelles, le service de l'état civil à l'hôpital ne l'ont pas demander son adresse ils ont indiqué l'adresse en France.

La Caf demande une pièce d'identité et un justificatif de domicile du papa.
Le problème c'est qu'il ne souhaite pas fournir ces documents en France car il pense que ça peut se retourner contre lui.

Comment je fais moi en attendant? Mes aides sont coupés et mon fils est exclu du système allocataire.
Ma question est-ce que la CAF a le droit de refuser d'enregistrer la naissance de mon fils ? Si le père qui habite hors de la France refuse de fournir les documents demandés, la CAF a le droit d'interrompre mes droits ?

Je vous remercie d'avance pour votre aide.

Bien cordialement.