Enfant reconnu mais ne porte pas mon nom

Bonjour à tous,

Voici mon histoire. J'ai eu un enfant très jeune avec une femme. Du fait de mon jeune âge, de la peur et que je netais plu avec la mere je n'ai pas reconnu mon fils mais ne l'ai jamais abandonné et est toujours allé le voir, cherche à l'école, voir ses spectacles etc. J'ai fini part le reconnaître 6 ans après. Je précise que du coup il ne porte pas mon nom.
Ayant refait ma vie et ayant eu un autre enfant il y a à peine 1 semaine, la mère de mon premier fils me menace de tribunal si je n autorise pas de donner mon nom à mon premier fils.
Je serais ravis de le faire dans la mesure où c'est elle a la base qui n'a jamais voulu. Mais le fait qu'elle me menace, je me demande si cela ne cache pas quelque chose. Peut être que c'est juste un signe de jalousie et qu'elle veut que les deux petits soient "egaux" à ses yeux...
Ma question du coup est, est ce que cela changerait quelque chose que je donne mon nom à mon premier fils? Y a t il une différence entre être reconnu seulement et être reconnu et porter le nom ?
Je me méfie beaucoup de cette femme, et pourtant j'aimerais vraiment qu'il porte mon nom ne serait ce pour qu'il n'est pas de complexité ou soit triste plu tard.
Je vous remercie par avance.
Cordialement