Mon agence refuse de contre signer mon bail! Heeeeelp!

Bonjour à tous et merci à ceux qui prendront le temps de me lire et de me répondre!

Début du moi d'avril, je trouve enfin un logement par le biais d'une agence immobilière. Mon dossier est accepté par le propriétaire.
L'agence me donne donc rendez- vous dans ce logement le samedi 6 avril pour l'état des lieux, la signature du bail et la remise des clés.
Le 5, je passe à l'agence pour payer mon loyer en espèces car je n'ai pas de chéquier. Dans un premier temps, l'agence refuse mon argent me disant qu'ils n'ont pas de caisse!
Interloquée, je leur demande comment faire puisque je n'ai pas de chéquier! Ils finissent par accepter et me font une quittance de loyer.
Mais tout se complique par la suite puisqu'ils me demandent le paiement du DG et de leurs honoraires par chèques.
Je leur explique que pour moi il m'est impossible de payer la totalité et que je souhaite un étalement de cette somme en 3 fois (816€).
L'agence finalement me maintient le rendez-vous du lendemain pour mon entrée dans les lieux et m'informe que j'ai jusqu'au lundi pour trouver une personne qui pourra me faire ces fameux chèques!
Le lendemain, comme convenu, je me rend dans le logement ou je signe l'état des lieux et le bail.... Je leur remet mon attesation d'assurance habitation! Après cela, on me remet un trousseau de clés ouvrant les 3 portes et on m'informe que les autres clés dont celle de la boite aux lettres me sera remise à l'agence lundi quand je viendrais avec les chèques et que d'ici là, ils ne contre signeraient ni mon bail, ni mon état des lieux!
J'enmenage donc le dimanche....
Le lundi, ma maman qui est à la retraite et ne perçoit que 900€ par mois, fait 70km pour se rendre à l'agence avec moi et faire les chèques!
Une fois sur place, ma maman sort son chéquier et demande à ce que le premier soit encaisser à partir du moi de Mai. Là, l'agence refuse et le responsable arrive en nous mettant minable et plus que terre! En disant qu'il veut son argent tout de suite, qu'il a ses employés à payer etc... Et que si on a pas les moyens, vu que le bail n'est pas contre signé, il me demande de quitter les lieux sur le champ!
Dans la panique, nous contactons divers associations.... Et en parallèle je sollicite le FSL pour régler au plus vite.
Le Mardi matin, je reçois un appel de l'agence m'informant que si je ne règle pas avant midi, ils viendront me couper l'eau.
Je leur écrit donc une lettre avec AR relatant posement les faits et leur confirme que je règlerais ce que je dois à partir du mois prochain. Pas de réponse de leur part!
Hier, en rentrant chez moi, je vois qu'une pancarte de l'agence a été placardée sur ma façade "appartement à louer"!!!!!!!!!
Je regarde donc sur internet et mes peurs se confirment.... Mon appartement est toujours à la location et l'annonce a été réactualisée le 9, soit 2 jours après mon emménagement!
Je suis paniquée, car je n'ose même pas me rendre à l'agence immobilière tellement ils m'ont mise plus bas que terre lors de notre venue ce fameux lundi avec ma maman!
Ma question est la suivante, peut on me mettre à la porte avec mes enfants vu que mon bail n'est pas contre signé? Aussi, je n'ai que ma quittance de loyer ( loyer de 531, ils m'ont fait payer au prorata des jours OQP soit 450€) comme preuve de bonne fois, comment faire pour que je perçoive l'APL puisqu'ils refusent aussi de me remplir l'attestation de loyer!
Merci de m'éclairer car je suis terrorisée....et j'ai vraiment très peur de me retrouver à la rue!