Problème gaz de france

Bonjour, je viens de recevoir un sms de gaz de france me disant qu'il fallait que je les rappelle en ce qui concerne ma facture impayée (680 euros). Je les ai donc appelé pour essayer de trouver un arrangement en leur disant que ce mois ci je ne pourrais pas leur donner grand chose( pas plus de 100 euros) et si l'on pouvait mettre un échéancier à compter du mois d'avril. Le monsieur a refusé et a été super désagréable en me disant qu'il noté mon refus de paiement (alors que je n'ai pas refusé je voulais avoir un peu plus de temps pour payer car je suis seule avec mon fils). Je lui ai demandé sils pouvaient me couper en période hivernale il m'a dit que oui.
Ont-ils le droit de me couper intégralement le gaz ou alors est-ce progressif tout en sachant que j'ai l'électricité chez eux aussi?
Et si malgré son refus, je leur envoie un chèque de 100 euros par courrier en leur demandant de mettre un échéancier en place à compter du mois d'avril ai-je plus de chance qu'il soit accepté??
J'ai pris un rdv avec mon assistante sociale mais je n'ai pas rendez vous avant le 19 mars et j'ai peur du coup qu'il me coupe avant.
Avez vous des solutions s'il vous plait?? Merci d'avance