Signer un CDI pendant un abandon de poste

Bonjour,

Je suis actuellement salariée d'une entreprise en contrat 39h; je ne souhaite pas démissionner pour ne pas perdre mes droit aux ASSEDIC.
J'ai pu négocier avec le DRH pour faire un licenciement pour faute grave en faisant un abandon de poste, mais il me demande d'effectuer comme même mes deux mois de préavis soit mai et juin (le tps de recruter et former quelqu'un sur mon poste).
Le problème c'est que la procédure d'abandon de poste ne pourra débuter que début Juillet (3semaines minimum le tps d'envoyer les courrier recommandé...).
Mon futur employeur m'attend lui début Juillet pour commencer ma nouvelle activité.

Est il possible d'être en abandon de poste début juillet avec mon premier employeur, et en simultané de signer mon nouveau CDI ???
Quels risques j'encours à cumuler ces 2 contrats?
Il y aura t'il une concéquence sur mes droits aux ASSEDIC?

Merci d'avance pour vos réponses