Démission,préavis non effectué, new job

Bonjour,

Je suis actuellement en CDI dans une entreprise, mais je cherche un nouvel emploi.

Si je venais à démissioner, mon préavis serait d'un mois (chez l'entreprise A), à compter du 7 juin par exemple. Mais si je trouve un nouvel emploi et qu'on me demande (chez l'entreprise B) de commencer à travailler avant le 7 juillet, pourrais je demander à l'entreprise A de ne pas effectuer mon préavis car j'ai trouvé un autre emploi?

Merci d'avance