Bail non soumis à l'article 632-1 du CCH ?

Bonjour,

je loue actuellement un logement meublé sur Toulouse.
Voulant déménager, j'ai posé mon préavis d'un mois conformément à l'article 632-1 du CCH. Cependant une clause du bail stipule que le préavis est de 3 mois (clause abusive réputée nulle?)

L'agence qui me loue l'appartement me contacte 3 semaines après avoir reçu mon préavis (j'ai l'AR) et m'annonce que le préavis est de 3 mois car ils ne sont pas soumis à l'article en question.
Selon eux (je cite le bail) : "Conclu dans le cadre de l'une des exclusions prévues à l'article 2 de la loi n°89-462 du 6 Juillet 1989, il n'est soumis ni aux dispositions de cette loi, ni celles prévues par la loi n°49-1360 du 1.9.1948, ni aux articles L 632-1 et suivants du code de la construction et de l'habitation. En conséquence, la durée du contrat ainsi que le montant du loyer sont librement fixés entre les parties."

Je ne m'y connais pas beaucoup en droit mais j'ai quand même cherché a comprendre. Vu que le logement est meublé, cela rentre effectivement dans les exceptions de l'article 2 de la loi 89-462. Mais je ne vois pas pourquoi ce bail ne serait alors pas soumis à l'article 632-1 et suivants (surtout que le premier concerne exclusivement les logements meublé).

De plus lors de mon dernier contact par téléphone avec l'agence, la gestionnaire m'a dit que le bail était régi par le code civil et non le CCH. Et a essayé de m'embrouiller allant jusqu'à dire que mon bail était un bail commercial (pour un studio meublé.... mais bien sûr).

Bref le fait est que l'agence ne veut pas reconnaître mon préavis d'un mois et me demande de payer jusqu'à la fin des 3 mois.

Est-ce que c'est moi ou est-ce que l'agence a faux sur toute la ligne ?
Si je suis dans mon droit, ou dois-je m'adresser pour régler ce litige ?

Merci d'avance