Arrêt intérim renouvellement non signé

Bonjour,

je suis en contrat intérim depuis février renouvelé à chaque prolongation d’arrêt maladie de la personne que je remplace. Fin mai on me préviens que la personne reprend le 01 juillet. Je préviens donc mon responsable que je me met en recherche d’un nouveau poste. Mon dernier contrat signé s’arrêtait le 31/05 je continue à travailler le lundi 03 mardi et mercredi toujours sans réception du nouveau contrat. Le mercredi j ai un entretien qui s’avère positif pour une belle opportunité le hic c est pour une prise de poste le lundi suivant. 
N’ayant rien signé je préviens mon responsable et ma boîte d’interim qui me dit pas de soucis surtout signez rien on vas faire une modification de contrat afin que vous finissiez avant. Sauf que la rh de la boite refuse et veux que je fasse un courrier de rupture anticipée de contrat et que je perde mes droits. 
Est ce légal ? Pour moi ils sont malhonnêtes pour le coup. Pouvez-vous m’aider? Merci