Relance impayé suite sinistre incendie

Bonjour,
je suis propriétaire dans une copropriété de 13 logements et, en juin 2015, nous avons été victimes d'un sinistre incendie.

Bien évidemment, chaque copropriétaire avait son propre assureur et expert pour son logement et, en parallèle, le syndic gérait avec l'assureur de la copropriété les différents corps de métier qui devaient intervenir pour les travaux sur l'immeuble.

Toutefois, en juin 2019, suite à une assemblée générale de copropriétaires, la gestionnaire du syndic nous a interpelé sur le fait qu'il y avait une somme restant due par l'assureur de la copropriété, somme d'un montant de 13 000 euros. Après discussion avec la comptable du syndic, il s'est avéré que c'était une erreur, la gestionnaire s'est excusée par mail auprès de nous et la somme de 13 000 euros n'était pas due par nous, copropriétaires.

Enfin, il y a un peu plus d'un mois, nous avons prévenu notre syndic actuel du souhait d'en changer à la fin du mandat, soit fin juin 2022 et, notre gestionnaire nous a reparlé de l'histoire des 13 000 euros toujours impayés, nous faisant savoir que l'assureur ne les payait pas, qu'il "faisait le mort" et que, de fait, notre syndic était en droit de nous réclamer cette somme à nous copropriétaires. Juste pour situer, pendant plus de deux ans (juin 2019 à août 2021), à aucun moment le Syndic nous a relancé sur l'histoire des 13 000 euros.

Du fait de tout cela, voici mes questions, si vous pouvez y répondre :
1) l'assureur étant apparemment défaillant ou ne souhaitant pas payer cette somme, notre syndic a-t'il le droit de se retourner vers nous pour exiger celle-ci ?

2) le syndic ne doit-il pas mettre en demeure l'assureur (par voie d'huissier) de régler cette somme ?

3) le syndic ne doit-il pas nous présenter une copie de ladite facture des 13 000 euros et nous expliquer ce que cette somme représente ?

4) le syndic peut-il refuser de mettre à l'ordre du jour notre demande de mise en concurrence d'un nouveau syndic sur le prétexte qu'il reste 13 000 euros dus ?

5) la prochaine assemblée générale devant avoir lieu en octobre prochain (elle aurait due avoir lieu en juin dernier), l'histoire des 13 000 euros doit être mise à l'ordre du jour, non ?

Merci par avance de votre retour.
Cordialement,

F. DELION