Pas de contrat mais fiche de paie et pression patron

Bonjour,

Je suis employé à temps partiel depuis le 18 août mais je n'ai toujours pas vu le contrat.
J'ai bien reçu une fiche de paie pour le mois d’août, mais je n'ai toujours pas reçu ma paie.
La fiche de paie ne mentionne pas le jour correcte de ma rentrée dans la boîte mais une semaine après.
J'ai plein de preuves SMS et Email.

Entre temps, le patron a lancé une offre d'emploi pour un autre employé à temps plein cette fois ci. Je pense que celui ci pourrait réaliser mon travaille à ma place avec des compétences en plus. Cela reviendrait moins cher pour le patron bien entendu.

Je pense qu'il sait qu'à cause du contrat non présenté, non signé, je pourrais demander une requalification en CDI à temps plein ? Pour me mettre des bâtons dans les roues, il a aujourd'hui essayé de me faire porter le chapeau pour une faute lourde. Une raison absurde, fausse et dont je peux me défendre sans soucis. Il me prend vraiment pour un kleenex jetable.

Pour sortir de cette ambiance hostile, que suis-je en droit de lui demander pour s'en sortir à l'amiable ? Si il ne voulait pas, comment devrais-je procéder pour obtenir réparation ?

Merci