Frais de déplacement

bonsoir à toutes et à tous,
je suis séparé de la mère de ma fille avec acte de jugement. J'habite au Nord de Rouen et ma fille vit avec sa mère à Vanves (sud Paris). J'ai un droit de garde classique : 1 / 2 we et la moitié des vacances.
Sachant que ma fille a un problème qui implique un suivi en podologie, sa mère a choisi l'hopital Necker à Paris pour qu'elle puisse etre suivie. Jusqu'à la, rien à dire..

Sa mère me demande désormais de venir assurer la visite chez ce spécialiste en plein milieu de la semaine (pas le choix, cela ne peut etre qu'un mardi).

Perso, meme si je trouve ca un peu gonfler de me faire perdre une journée de boulot (je compte 4h30 de transport A/R porte à porte alors qu'elle se trouve à 1/2h de métro), je peux me déplacer mais le rendez vous pris tombe sur un jour ou je ne peux pas me déplacer pour des raisons médicales (matin) et professionnel (apres midi), aussi reporter le rendez vous entraine d'en prendre un autre .. en septembre...J'ai donc demandé à sa mère de bien vouloir s'y rendre...refus catégorique...

Par ailleurs et plus généralement, cela me revient à 60€ de transport A/R en train. Aussi je voudrai savoir si cela est légitime de demander à sa mère de payer la moitié du transport..?
ceci ne relève pas des frais usuels d'un des deux parents car il s'agit d'une visite chez un spécialiste, donc en principe, on devrait diviser les frais par deux depuis le déplacement jusqu'à la somme payée hors sécu + mutuelle..? Evidemment, elle refusera de prendre en charge la moitié du transport...et prend finalement, et malheureusement, classiquement, ma fille en otage.

Donc la question est : est ce légale de lui demander de partager ces frais..? et est ce légal qu'elle refuse de le faire...?
En vous remerciant pour vos réponses constructives.