Préavis réduit 1 mois de départ pour une situation tres compliqué .

Bonjour.
j'aurais besoin d'un conseil qui va déterminer ma vie professionnelle et celle de mon petit garçon..
J'ai élevé mes 5 enfants , grandissant je me suis mise à la recherche d'emploi mais en vain .
J'ai fait de la distribution de publicités à pieds quelques heures par semaines, moins de 2 mois il y a très longtemps . le patron n'a pas continué car j'avais des handicaps au niveau des pieds .
Je suis restée à la recherche d'emploi des années et au RSA. Mais mon problème handicap s'est aggravé avec les années et je ne pouvais plus marcher, l'opération fut devenue obligatoire .
J'ai décidé de quitter ma région très sinistrée par le chômage car je n'en pouvais plus que l'on me laisse de coté .
J'ai traversé toute la France dans l'espoir de voir un jour la lumière au fond du tunnel.
L'ANPE en avait assez de me voir presque toutes les semaines avec mes nombreuses démarches entretiens sans suite. Ils ont découvert mon problème que je ne cachais pas . Ils m'ont envoyée voir le médecin de la cotorep qui m'a immédiatement mise avec le statut de travailleur handicapé . Cette reconnaissance m'a privée d'un emploi d'un petit magasin de village à 5 mns de chez moi .
J'ai donc élargi mes recherches et mes entretiens jusqu'à 80km de chez moi .
N'ayant jamais vraiment eu de travail à par deux intérims pour des remplacements d'un jour par ci par là mais aucun contrat d'embauche , le chef du personnel a trouvé courageuse ma demarche de recherche d'emploi si loin.
Sur 3 mois j'ai dû travailler une dizaine de jours .
Il a dit un cv vierge , et nouvelle sur la region je ne pouvais pas prétendre au poste . Il m'a laissé la chance de le convaincre que j'etais faite pour ce poste . Au final nous avons signé un contrat avec une période d'essai de deux mois. Celui ci se termine dans une semaine et je vais savoir si je serai gardée . Mais la responsable m'a dit en cachette que le patron ne regrettait pas d'avoir donné une chance à une personne venant de si loin avec un cv vierge. En conclusion je suis embauchée défénitivement dans 12 jours.

Comme vous pouvez le voir ma situation n'est pas commune .
Je fais plus de 3h de route 6 jours par semaine . Je travaille 1 voir deux dimanches par mois de 8h30 à 12h30 soit légèrement plus que le temps de l'aller retour . J'ai un salaire au SMIC mais je suis tellement contente de pouvoir enfin travailler et d'avoir une fiche de paie que cela ne me fait rien . J'avais prévu qu'au terme de la fin de mon essai de déménager plus proche de mon travail pour réduire les dépenses qui représentent plus de la moitié de mon revenu net Ma voiture fait du 10l au cent avec 300 000km et elle ne passe plus au contrôle en mai.
J'ai parlé avec une personne de mon futur déménagement et celle ci m'a appris que je ne pouvais pas donner mon préavis d'un mois car ce n’étais pas un premier emploi . Mais la distribution de publicités il y a plus de 10 ans et des remplacements de quelques jours sur un saisonnier pour des personnes absentes ne correspondent pas à des embauches ni des travaux puisque je suis toujours restée sous le régime du rsa .
Là actuellement je viens de faire ma déclaration trimestrielle , et si j'ai bien compris ceux qui retrouvent un emploi sûr perdent le statut du rsa trois mois après cette déclaration trimestrielle .

Ma question est est ce que je peux prétendre à un préavis réduit dés que j'aurais trouvé un logement proche de mon travail ?
Je me suis mise à chercher et les logements vont se libérer d'ici deux à trois mois voir début été .
Puis je pretendre ce préavis d'un mois et jusqu'à combien de mois car si j'arrive à trouver un logement au mois de juin cette demande sera toujours valable ou refusée car trop loin de la fin de période d'essai ?
Mon avenir professionnel dépend de la réponse que vous m'apporterez , soit sa continuité ou son arrêt car je ne pourrai pas vivre avec moins de 500 € et un enfant.

Je vous remercie d'avance pour vos réponses.

Cordialement,

L.L