Menace de relocation après dépot de dossier

Bonjour tout le monde,

J'ai récemment fait un dépôt de dossier auprès d'une agence pour la location d'un appartement. J'ai reçu une réponse positive à mon dossier au bout de 2 semaines le 16 août (assureur loyer impayé un peu lent et vacances scolaire d'après l'agence).
Une fois la réponse obtenue, j'ai donc convenu avec l'agent immobilière que je signerai le bail à date du 25 août (afin de ne pas payer un double loyer trop important).
Or j'ai reçu un appel d'une autre personne de l'agence (la directrice) qui gère maintenant mon dossier qui était "pas contente" parce que la signature du bail se faisait plus tard que prévu.
Nous avions convenu avec cette personne, oralement, que nous ne pourrions pas faire la signature du bail en date du 1er septembre car cela obligeait le propriétaire à attendre trop longtemps pour que son appartement soit loué.
Du coup pour m'assurer que je prends bien l'appartement, elle exige que je laisse une preuve de mon engagement et que je verse dès à présent une somme d'argent (soit des frais d'agences ou du loyer, elle ne l'a pas précisé). Sinon elle remettra le bien en location.

Mes questions sont les suivantes :
L'agence est-elle en droit de me demander un quelconque règlement alors que rien n'a été signé ?
L'agence a-t-elle le droit de remettre en location le bien alors que notre dossier est validé ?
Si elle n'a pas le droit, de quels outils puis-je disposer pour me retourner contre l'agence ?

Merci pour votre aide, en espérant que je n'ai pas à les mettre en pratique.

Bonne journée.