Demande information location france

Bonjour,

Mon locataire m a envoyé une lettre (non recommandée) pour m informer qu'il quittait la location en décembre. Il m avait averti par telephone le jeudi 24 et son courrier est parti ce jour là.

Par contre elle est anti-datée du 17/11/16. J'ai reçu cette lettre, le samedi 26 novembre cachet de la poste 24/11/16

Je souhaiterais savoir s'il me doit le mois de décembre en entier ou pas (car il comptait partir le 16 décembre) ? Sur le contrat il etait bien précisé préavis 1 mois. Pour le moment aucun locataire ne reprend la suite.

Est ce que je dois lui rembourser un parti de décembre ou pas ? Et si je trouve quelqu'un avant fin décembre dois je lui rembourser les jours au prorata ?

D'avance merci pour les informations,

Cordialement