Assmat a déménagé sans prévenir

Bonjour,
je suis parent d'un petit garçon que nous avons confié à une assmat le 22/02/2016 jusqu'au 05/07/2016, date de congés de ma femme qui est enseignante.

Il y a quelques temps, durant nos congés, elle nous a demandé, par SMS, si on la suiverait dans une nouvelle maison à plusieurs kilomètres plus loin, question à laquelle nous avons répondu "non", elle nous avait donc répondu : "je ne prendrais donc pas cette maison !" (SMS à l'appui).

Nous sommes partis en vacances du 04/08/2016 au 18/08/2016 à l'étranger.
Durant ce temps, notre assmat a déménagé dans cette maison et n'a pas trouvé utilé de nous prévenir... Elle aurait soit disant envoyé des SMS que nous n'avons jamais reçu même à notre retour de vacances.
Or, après m'être renseigné, elle aurait dû nous en avertir par lettre recommandée avec AR (dites-le moi si j'me trompe !)

Nous avons donc seulement appris qu'elle avait déménagé le 25/08/2016, une semaine avant la reprise du boulot de ma femme.
Nous avons donc (dans la précipitation sûrement) envoyé un courrier de licenciement à sa nouvelle adresse. Dans ce courrier, nous lui notifions que nous ne souhaitons pas qu'elle effectue son préavis de 15 jours mais que nous lui paierons tout de même.

QUESTION #1 : A-t-on eu raison de lui dire que nous lui paierons son préavis ?
QUESTION #2 : Dans le cas où nous ne sommes pas obligés de lui payer son préavis, peut-on au final ne vraiment pas lui payer malgrès la notification dans le courrier de licenciement ?
QUESTION #3 : Ne pas avoir prévenu de son déménagement, est-ce une faute grave ?
QUESTION #4 : Aurait-elle du proposer sa démission puisque son adresse a changé et que celle-ci ne nous convient pas ?

Merci d'avoir pris le temps de me lire.

Cdt,

Kévin, un père sous tension