Constat rédigé après 5 jours

Bonjour,

J'ai eu un léger accrochage avec un véhicule sur un parking (nous avons reculé tous les deux en même temps). N'ayant pas de dégâts et l'autre véhicule qu'une légère griffure (après coup, je pense qu'elle devait être là auparavant même), nous décidons de ne pas rédiger de constat. Quelques jours après, la personne m'appelle et dis en avoir pour +de 200€ de réparations. Surprise, je refuse de payer et dis qu'à ce moment-là, je préfère faire un constat. Mon assurance m'en dissuade, me conseillant de faire ça plutôt à l'amiable.
J'avais obtenu alors qu'on aille voir ensemble mon carrossier mais là la personne change d'avis en accusant mon carrossier d'être un voleur. Ayant passé les 5 jours ouvrables pour le constat, je lui dis que c'est ça ou rien.
Elle a alors rédigé un constat dans mon dos et la remis à son assurance (qui s'avère être la même que la mienne). L'assurance me contacte et je leur explique que cette personne reculait aussi et que le délai des 5 jours étant passé largement (on en est à presque deux mois à ce moment-là), je refuse de remplir ma partie de constat.
Aujourd'hui, ça fait maintenant trois mois que l'accrochage a eu lieu et je reçois une lettre me disant que j'ai tous les torts et que en gros l'assurance a rempli ma partie de constat sans moi.

Ont-ils vraiment le droit de remplir le constat sans moi et sans ma signature ? Ont-ils même le droit d'accepter un constat rempli que par une seule partie et plus d'un mois après l'accrochage ? Quel recours puis-je avoir ?

Parce que à ce compte là, ça pose un autre problème. Qu'est-ce qui empêche la rédaction de faux constat dans une assurance ?