Enfant, séparation, éloignement...

Bonjour,

Très vite, je vous expose mon cas. Nous étions ensemble depuis 7 ans, pas de mariage, pas de pacs et nous avons une fille de 3 ans ½ que j'ai reconnu. Nous habitions vers Lyon. J'étais malheureux dans mon travail. J'ai mis 4 ans à prendre la décision de démissionner. Après ça Je me sentais tellement mieux.
J'ai alors envisagé que nous pourrions tous les trois venir vivre dans la région bordelaise, ma régions d'origine, afin que l'on puisse être heureux tous les trois dans ce coin merveilleux. Notre couple n'était pas très stable et c'était pour moi la solution pour le faire repartir pour une nouvelle vie. Mon "ex" (désolé c'est encore dur à dire) m'a dit que oui, j'avais quitté Paris pour elle et donc qu'elle ne m'empêcherait donc pas de rentrer à Bordeaux, qu'elle verrait pour sa mutation. J'ai donc passé des entretiens d'embauche sur Bordeaux, nous avons vendu notre maison et j'ai trouvé un travail et un appartement sur Bordeaux, et elle un appartement ver Lyon, en attendant de me rejoindre. Au début tout allais bien. Je faisais des allers-retours en attendant qu'elle ait sa mutation, j'étais heureux de les retrouver.
Et puis il y a deux mois elle m'a dit qu'elle ne pouvait pas s'empêcher de m'en vouloir d'être parti. Elle a rompu. Et aujourd'hui elle fréquente d'autres hommes.
Je continue à lui donner 200€ par mois pour participer au frais de notre enfant que j'aime par dessus tout. Je prends l'avion dès que je peux pour voir mon enfant. Conciliante, sa mère me dit qu'elle ne m'empêchera jamais de la voir quand je le souhaite, sans pour autant participer financièrement.
Seulement voilà, en raison des couts de transport, je peux au mieux voir ma fille une fois par mois. Ma fille me demande tous les soirs au téléphone "quand tu viens papa ? », et je pleure en lui répondant « bientôt ma puce ».
Nous avons des revenus équivalents c'est à dire un peu moins de 2000€. Avion + location de voiture + hôtel pour moi et ma fille = au bas mot 300€ le week-end. Aller voir un juge me permettrait-il de pouvoir répartir les couts de transport, me permettrait-il de voir ma fille un week-end sur deux avec des couts repartis entre moi et sa mère ? Comment cela se passe pour les vacances ? Que dit la loi ? Suis-je en tort ? Ais-je fais un abandon de foyer ? J'ai très peur. J'ai peur aussi d'aller voir un juge, parce qu'au fond, je voudrais surtout que sa mère change d'avis. Que faire pour voir ma fille plus souvent sans m'endetter ?
Merci de vos conseils, car je me sens perdu. Merci.