Travailler sans contrat signé

Bonjour,
J'ai commencé un nouvel emploi le 2 janvier dernier en réponse à une annonce publiée sur le site de pôle emploi. Cette annonce concernait un poste en CDI avec une amplitude de 24 à 32 heures selon les semaines en horaires décalés 16-24h, we compris. En ce moment je travaille 40h par semaine we compris. Lors de l'entretien d'embauche on m'a dit oralement que finalement ce serait un CDD. Je suis toujours en période de formation et on m'a indiqué également lors de l'entretien d'embauche que pendant ma période de formation je serai rémunérée en heures normales de jour que je travaille de nuit ou le we, donc sans majoration. J'entame demain ma quatrième semaine et je n'ai toujours pas de contrat. Quand j'aborde le sujet on me dit qu'il faut être patiente. Je ne sais pas quoi faire mais du coup je me pose beaucoup de questions. Est-ce légal? Que se passerait-il si il m'arrivait un accident sur le chemin du travail? Si j'ai mon bulletin de salaire et que je n'ai toujours pas de contrat que se passera t-il? Et si je ne suis pas rémunérée à la fin du mois, ai-je des recours?Merci de m'aiguiller et de me donner des conseils.