Dégat des eaux / non assurance

Bonjour,

Nous avons un appartement que nous allons mettre en location.
Depuis le départ de l'ancien locataire, nous ne l'avons pas assuré.
Jusqu'au jour où .... dégâts des eaux du voisin du dessus.
Nous avons donc pris une assurance, mais trop tard ...

Du coup, c'est l'assurance du syndic qui prend en charge mais uniquement pour les parties communes.
Seuls les dégâts au sol (plancher) pourront être pris en charge au titre de l'assurance du syndic. Les "embellissements" (peintures des murs et plafonds) ne seront pas pris en charge.

Savez-vous s'il existe un recours pour obtenir une indemnisation sur l'ensemble des partis abimées ?
Pouvons faire notre propre recours auprès de l'assureur responsable ?

Merci d'avance pour votre aide et vos réponses.

Bonne journée,

Virginie