Gestion locative et loyers non encaissés

Bonjour,

J'ai de multiples problèmes avec une grande agence immobilière à laquelle j'ai confié la gestion locative de mon appartement dans la région parisienne pendant que je suis à l'étranger, dont le plus sérieux est le non encaissement chronique de loyers et de provisions sur charges et la non activation, quand cela se produit, de l'assurance contre les loyers impayés que j'ai souscrit.
L'agence invoque un défaut de paiement du locataire (qu'elle a elle-même choisi). Le locataire, auquel j'ai demandé des explications, m'affirme que c'est parce que l'agence refuse la mise en place d'un virement bancaire, et qu'elle encaisse tardivement les chèques, ce qui fait qu'ils sont parfois rejetés.
Quoi qu'il en soit, je viens de recevoir le compte rendu de gérance trimestriel du mois de juin et de découvrir que les loyers/charges des mois de mai et de juin n'ont pas été encaissés et que mon compte est, de ce fait, débiteur. L'agence, qui ne s'est bien sûr pas gênée pour encaisser malgré tout les frais de gestion, me demande de régulariser ce "découvert" par chèque.

Première question: suis-je tenu de le faire alors que c'est de la responsabilité de l'agence d'encaisser les loyers (ou de faire jouer l'assurance)?

Deuxième question: je souhaite désormais rompre le mandat de gestion. Comment puis-je faire? Et si des loyers n'ont pas été encaissés au moment de la rupture du mandat, l'agence est-elle tenue malgré tout de les recouvrir avant de solder les comptes?

Troisième question: j'hésite à confier la gestion à une autre agence (j'avoue être un peu échaudé) ou à demander au locataire de mettre en place un virement automatique. Mais celui-ci étant potentiellement un mauvais payeur, de quelles précautions puis-je m'entourer?

Merci d'avance de vos conseils.