Changer de SSII sans changer de mission

Salut tout le monde,

Je suis un ingénieur en système embarqué automobile ayant un an d'expérience.
Je travaille tant que prestataire avec une grande entreprise internationale spécialisée en systèmes embarqués pour automobile. Elle se trouve dans la région parisienne.

Je veux changer de SSII sans changer de mission car avec cette SSII je suis très mal payé et je n'ai aucun avantage (ni RTT ni frais satisfaisants).

Je veux savoir si c'est possible de le faire et comment je peux le faire ?
Est-ce que je discute avec l'entreprise avec laquelle je suis en mission ou bien je dois chercher une autre SSII c'est elle qui contacte le client ?

Je vous remercie d'avance pour vos réponses.

Cordialement,