Declaration d'embauche hors délais

Bonjour,
j'ai effectué un stage de 5 mois et demi qui s'est terminé le 30 juin: mon employeur m'avait dit qu'il souhaitait prolongé ce stage par un CDD se terminant le 7 août 3 semaines avant la fin de mon stage. Il m'a parlé de mon salaire le 30 au soir, sans me faire signer de contrat. Je suis partie en déplacement dans le cadre de mon travail le 1er juillet et ne suis revenue que le 9, sans que l'on m'est transmis mon contrat. Hier, mon employeur m'a donné mon contrat sans un mot et j'ai vu qu'il ne démarrait qu'au 6 juillet. J'ai signalé l'erreur ce matin et il m'a été répondu que la déclaration d'embauche n'a été faite que le 6 et que je compenserai en ne venant pas 3 jours avant la fin du terme du contrat, sans que cela ne soit mis par écrit. Après vérification, le fait de n'avoir déclaré l'embauche que le 6 peut avoir des conséquences pour eux si je le signale à l'URSSAF. Et ils me font miroiter un poste pour le 1er septembre, d'où mon désarroi: je n'ai pas encore signé le contrat et je ne sais pas quelle alternative je peux avoir. Je suis persuadée qu'ils ont fait cela pour ne payer qu'un mois de salaire. Pouvez-vous me dire s'il est possible de "corriger" une date d'embauche auprès de l'URSSAF? quel recours ai-je? D'avance merci pour votre aide.