Licenciement et mauvaise date

Bonjour, 

J'ai une petite question. J'ai été licencié ce mois-ci, et j'aurais aimé quelques précisions. 

Je travaillais dans une société de BTP. Pour vous exposer les faits, j'ai commis une faute grave le 4 janvier 2024. Faute assumée dans l'enceinte de l'établissement le jour-même avec la cliente pour laquelle je travaillais. 

Sur mon courrier de licenciement, il est noté que je me suis rendu coupable des faits le 8 janvier, alors que c'est faux puisque j'ai pris les devants et eu une conversation avec la cliente pour la faute que j'ai commise le jour-même des faits. (Le 4/01/24)

Il est aussi noté sur mon courrier de notification de licenciement pour faute grave que ma mise à pied à eu lieu le 5 janvier 2023. Alors que c'était le 5 janvier 2024. 

Est que le licenciement reste recevable ? 

Est ce que la mauvaise année indiquée va poser soucis pour ma réinscription à France Travail ? 

Merci d'avance, 

Lou