CDD date début non respectée par employeur

Bonjour,

J'ai signé un CDD avec une date de début le 1er Mars, or la semaine dernière j'ai reçu un appel du service RH m'informant que pour des raisons internes (background check) ils doivent décaler la date de début à la mi-Mars.

N'ayant pas le choix sur le début j'ai répondu à l'oral que sur le principe ça me convenait.

Depuis je n'ai pas de nouvelles de leur part et je les suspecte de décaler à nouveau la date de début par un simple appel, alors que le contrat de CDD prévoit un début le 1er Mars et qu'il n'y a aucune trace écrite du décalage de la date d'entrée.

Puis-je démissionner librement et chercher un autre emploi ou peuvent ils se retourner légalement contre moi ?

Merci beaucoup