Préavis de logement

Bonjour,
Je rencontre un soucis avec mon bailleur social.
J'ai obtenu un logement social chez un autre bailleur après 6 mois de demande incessantes pour avoir un logement plus petit et mois cher chez mon bailleur actuel sans succés.
J'ai donc envoyé une lettre AR expliquant que mon préavis était réduit à 1 mois car je quittais mon logement social pour un autre logement social, lettre reçue le 13 novembre par mon bailleur. J'ai reçu un courrier de leur part disant que mon préavis courrait jusqu'au 13 février 2020, "sous réserve d'un justificatif, votre préavis peut être réduit à 1 mois." J'ai donc envoyé le 22 novembre ce justificatif (je ne l'avais pas au moment de l'envoi de ma LAR).
Lorsque j'ai appelé, il m'a été répondu que c'était à la date de réception du justificatif. Hors nullement mentionné dans leur réponse. On m'a répondu que 10 jours, ce n'était rien.... Hors 10 jours c'est un tiers du montant du loyer alors que je vais devoir payer un loyer complet pour décembre pour mon nouvel appartement... C'est beaucoup pour moi...

Ma question est donc la suivante: le préavis débute-t-il à la date d'envoi du courrier AR annonçant le départ du logement ou à la date de réception du justificatif?

Merci pour votre aide, je suis dans une situation financière très délicate déjà... si je pouvais éviter d'en rajouter...