Démission avec un contrat CDD sans date de fin

Bonjour,

Je travaille actuellement dans une clinique privée depuis 6 mois.

Au début, mes contrats étaient des cdd reconductible sur des périodes allant d'une semaine à un mois. Il y a deux mois, ma responsable m'a modifié mon contrat de travail avec comme date de fin "jusqu'au retour de Mme X" cette dame étant en arrêt de travail pour une période indéterminée. Prétextant cette modification car "ça permettait de ne pas avoir à refaire un contrat de travail toutes les deux semaines".

A ce jour, je souhaite quitter mon poste mais je ne connais pas mes Droits par rapport à ce type de contrat qui n'est en soit ni un CDD ni un CDI.

En démissionnant de ce poste, pourrais-je prétendre à mes droits au chomage ?

L'objectif de cette démission est une ré-orientation dans un autre domaine avec une formation.

Merci d'avance pour l'aide et les explications que vous pourriez m'apporter.