Hébergé gratuitement par son père, mettre le bail à mon nom

Bonjour,
Je suis actuellement hébergé gratuitement avec mon fils et ma femme chez mon père depuis plus d'un an. Mon père souhaite un appartement plus petit et donc il veut me laisser l'appartement. Je suis en CDD avec des revenus correct. Je participe aux paiements des charges et mes revenus m permettent d'assumer le logement.
Mes questions sont les suivantes, pourrais-je récupérer l'appartement afin de lui trouver un logement plus petit? Et quelles sont les démarches à effectuer auprès de la caf et du bailleur ?
Concernant ma déclaration d'impôts, ils sont au courant.
Merci
Cdt,