Dépôt de mes économies en espèces sur mon compte

Bonjour, je me suis inscrit sur ce forum pour vous poser une question, en espérant être éclairé.
Alors je vous explique, depuis environ 4 ans, je met de l'argent de coté, non pas sur un Livret A ou autre, mais tout bêtement, dans une boîte à chaussure. Donc depuis des années, je met toute la monnaie que j'obtient dans cette boîte. Par exemple je vais acheter le pain avec un billet de 10€, les 9€ et quelques que l'on va me rendre vont directement dans cette boîte. Depuis 2 ans, je retire même systématiquement 150€ en début de moi, que je met dans cette boîte. Tout au long du mois je fait des retraits selon l'argent qu'il me reste, que je met dans ma boîte d'économie et chaque jours je continue a mettre les petites monnaies. J'ai fait cette boîte, que j'ai bien fermer sans pouvoir "piocher" l'argent que j'ai mis dedans, dans le but de mettre de l'argent de côté en cas de coup dur, car lorsque je mettais de l'argent sur un livret, j'étais toujours en train de piquer dedans. Mais depuis quelques jours, j'ai vu qu'on ne pouvait pas librement déposer de l'argent liquide sur son compte sans pouvoir en préciser la provenance, je me suis donc renseigner sur différents sites, et je prend un peu peur sur ce que je vais devoir faire de mon argent.
J'ai donc ouvert ma boîte pour voir combien j'avais accumulé, j'ai donc un peu moins de 8000€. Ma question est la suivante, si je vais voir ma banque, que je leur explique comment j'ai économiser mon argent, peuvent-ils déjà me refuser mon argent ? Et pire, peuvent-ils me l'accepter, et quelques jours après me demander des justificatif, et me retirer ou me bloquer mon argent ? parce qu'évidement, comment prouver et justifier que mon argent est le fruit de mes économies ? Et aussi est-ce qu'il y a un montant que je peux déposer librement ou un plafond ? Merci à ceux qui sauront m'informer.