Dois je payer mon avocat?

Bonjour,

Suite à la vente de ma maison que je possédais avec mon ex-femme, celle-ci n'a pas voulu reconnaître mes apports lors de l'achat du bien. La somme est donc séquestrée chez le notaire, qui m'a conseillé un avocat afin de régler le problème. J'ai pris rendez-vous, m'y suis rendu (en mai), l'entretien à duré plus d'une demi-heure, l'avocat en question m'a proposé de faire une lettre à madame pour une demande de règlement à l'amiable. Je lui ai dit que cela ne servirai à rien, il m'a rétorqué que cela démontrerai ma bonne volonté, j'ai alors dit pourquoi pas.

J'ai reçu quelques jours plus tard un mail avec un modèle de lettre et une convention à signer. Entre temps j'avais décidé de laisser tomber la procédure, du moins pour le moment. Je n'ai donc pas envoyé le courrier à madame, pas signé la convention de l'avocat, ni répondu au mail d'ailleurs.

Dernièrement (fin août), je reçois un mail de l'avocat en question avec une facture de 360 €. Je lui rétorque que je ne comprends pas vu que je n'ai pas signé la convention, que je ne l'ai pas recontacté, bien reçu son modèle de lettre, mais que je n'ai pas fais suite. Il me répond que pour sa part il à ouvert un dossier pour mon affaire, et envoyé lui même un courrier à madame.
J'ai alors relu son mail du mois de mai, dedans il reprend notre entretien, me transmet le modèle de courrier et ajoute qu'il enverra un courrier à madame sans nouvelle de ma part d'ici 2 à 3 semaines.

Je ne remets pas en cause le conseil qu'il m'a apporté durant l'entretien, le fait qu'il m'ai bien transmis un modèle de lettre et le fait que j'aurai du mieux lire son mail et du coup le prévenir que je ne donnais pas suite à cette affaire.
Mais toujours est-il que je n'ai jamais signé la convention, prouvant que je m'engageais. Vu que je n'avais pas signé sa convention, n'aurait-il pas du me recontacter avant d'envoyer son courrier à mon ex-femme?

Ma question est simple: Dois-je régler la facture de 360€?

Merci de vos réponses.