Quand payer une pension alimentaire?

Papa d'une petite fille de 9 ans, je suis séparé de la maman depuis 2010. J'ai reconnu ma fille mais elle ne porte pas mon nom étant donné que la maman l'a reconnu en premier et que j'étais absent à l'étranger lors de la naissance. Elle vit avec sa mère depuis et je l'ai un we sur deux et vacances scolaires. Il n'y a pas eu de jugement devant le juge des affaires familiales lors de la séparation donc on s'est mis d'accord pour payer les frais de garderie et cantine ensemble et de ce fait elle ne m'a jamais demandé de pension alimentaire.
Or, depuis qq mois, elle souhaite me mettre au tribunal pour me réclamer une pension alimentaire et de ce fait elle a demandé à l'école de ma fille de payer toutes les factures de garderie et cantine. Du coup, depuis 2 mois je ne reçois plus de facture de l'école.
Elle se serait mis en contact avec la CAF qui lui aurait dit qu'il fallait qu'elle paye tout toute seule pour prétendre à toucher la pension de mère isolée. La CAF lui aurait également dit qu'elle devait me mettre au tribunal pour me réclamer une pension et qu'elle pouvait même demander des arriérés de pension depuis la séparation. A-t-elle le droit de faire ça étant donné qu'on s'était mis d'accord et que j'ai toujours payer les frais de cantine et de rentrée scolaire?