Que faire en cas de décès du tuteur d'une personne majeure ?

Bonjour,
Ma mère souffre de la maladie d'Alzheimer, est en maison de retraite et mon père est son tuteur.
Mon père est heureusement en pleine forme, mais il est assez âgé. Il vit dans l'appartement familial dont ma mère a l'usufruit.
S'il arrivait quelque chose à mon père, je souhaite pouvoir vendre cet appartement au plus vite afin qu'il constitue une rente pour la maison de retraite. Or je crois que seul le tuteur peut décider la vente de l'appartement, ce qui est bien normal.

Ma première question est la suivante : s'il arrive quelque chose à mon père, est-ce que je deviens automatiquement tutrice de ma mère et peux dès lors procéder à la vente de l'appartement pour mettre en place le paiement de la maison de retraite ?
Ou bien dois-je faire tout une procédure de demande de tutelle, très longue, avant de pouvoir procéder à la vente ? Demande de tutelle + chercher un acheteur + délais légal de vente... cela me semble très long, et je suis incapable personnellement de payer la maison de retraite entre temps !

Ma seconde question découle de la première : si mon père décède, qui peut faire la demande de pension de réversion au nom de ma mère ?

En bref, est-ce que je peux prendre le relais de mon père facilement, ou suis-je obligée de faire une demande de tutelle de ma mère, ce qui prend des mois à ce que j'ai entendu ?
Je veux que ma mère puisse rester dans un établissement cher, mais où elle est bien, même s'il arrive quelque chose à mon père.

Merci d'avance !