Travail sans contrat écrit

Pour les preuves, pas de souci. J'ai notamment un mail où la personne qui m'a reçu en entretien me dit qu'elle a été ravie de me rencontrer et qu'elle m'attend dès le lundi 9H. Par ailleurs, je suis à un poste très exposé (en face et en charge d'un certain public) et je dois par conséquence rendre des comptes, ce que j'ai fait par écrit et par mail à 2 reprises (1 compte-rendu par semaine)...
En fait, l'idée n'est pas de négocier mon salaire, je l'aurais fait bien avant. Je me demande simplement où est le piège. J'ai passé l'entretien, visiblement réussi à convaincre et pu commencer rapidement. En échange de cette confiance accordée, j'ai choisi de rendre la pareil et de ne pas m'inquiéter sur les "détails"... La confiance c 'est bien mais de là à prendre le "risque" que je sois automatiquement en cdi sans période d'essai parce que je n'ai pas signé de contrat dans les 2 jours ouvrables, quand j'y pense, je me dis c'est soit de la naïveté comme il n'en existe plus soit de la c... Et là je me dis, ce n'est pas possible, il doit y avoir un piège...

Oui, pour les preuves, encore une fois, pas de souci (échange mails, comptes-rendus).
Si vous lisez ma réponse à rézaman, j'ai juste du mal à imaginer, déjà en général mais d'autant plus en période de crise, qu'un employeur prenne le risque que je sois en cdi sans essai simplement en "oubliant" de me faire signer un contrat dans les 2 jours ouvrables à partir de ma prise de fonction. D'où cette question : Où est donc le piège??!

Bon, je vois que je ne suis pas le seul à parfois me considérer vraiment naïf... Supposons qu'ils arrivent maintenant avec un cdd, je suis légitimement en position de réclamer un cdi non?